Prediksi OMI 2025
Saatnya asah logika, uji strategi, dan latih mental juara! 💡🔥
Prediksi soal ini bisa jadi bekalmu untuk menghadapi Olimpiade Matematika Indonesia 2025 dengan lebih percaya diri. 🚀📚
Soal Prediksi OMI 2025
Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan real yang berbeda sehingga
\[ \frac{a}{b} + \frac{a+8b}{b+8a} = 2. \]
Tentukan nilai dari
\[ \frac{a}{b}. \]
Pembahasan Soal
Menentukan nilai \( \dfrac{a}{b} \)
Soal. Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan real yang berbeda sehingga
\[ \frac{a}{b} + \frac{a+8b}{b+8a} = 2. \]
Tentukan nilai dari \( \dfrac{a}{b} \).
Pembahasan
-
Substitusi rasio.
Misalkan \(x=\dfrac{a}{b}\) dengan \(b\neq0\). Maka \[ \frac{a+8b}{b+8a} = \frac{xb+8b}{b+8xb} = \frac{x+8}{1+8x}. \] Persamaan menjadi \[ x + \frac{x+8}{1+8x} = 2. \] -
Hilangkan penyebut.
Kalikan kedua ruas dengan \(1+8x\): \[ x(1+8x)+(x+8)=2(1+8x). \] Sederhanakan: \[ x+8x^2+x+8 = 2+16x \quad\Rightarrow\quad 8x^2-14x+6=0. \] Bagi 2: \[ 4x^2-7x+3=0. \] -
Selesaikan persamaan kuadrat.
Gunakan rumus kuadrat: \[ x=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{8}=\frac{7\pm1}{8}. \] Sehingga diperoleh dua calon nilai: \[ x=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \quad\text{atau}\quad x=\frac{8}{8}=1. \] -
Periksa syarat soal.
Soal menyatakan \(a\) dan \(b\) berbeda. Jika \(x=\dfrac{a}{b}=1\) maka \(a=b\), bertentangan dengan syarat. Oleh karena itu solusi yang memenuhi syarat adalah \[ \boxed{\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}}. \]
